Variable aléatoire : loi, espérance, variance

Une variable aléatoire X associe un nombre à chaque issue. Sa loi donne la probabilité de chaque valeur.

Schéma

E(X) = Σ pᵢ xᵢ
V(X) = Σ pᵢ (xᵢ − E(X))² = E(X²) − E(X)²      σ(X) = √V(X)

Loi de probabilité

Tableau des valeurs xᵢ et de leurs probabilités pᵢ = P(X = xᵢ) ; la somme des pᵢ vaut 1.

Espérance

Moyenne théorique sur un grand nombre de répétitions. Elle n'est pas forcément une valeur possible de X.

Variance et écart-type

Mesurent la dispersion autour de l'espérance.

Transformation affine

E(aX + b) = a E(X) + b · V(aX + b) = a² V(X) · σ(aX + b) = |a| σ(X).

Jeu équitable

Un jeu est équitable si l'espérance du gain (mise comprise) vaut 0.

💡 Exemple

Gain 10 € avec prob. 0,1 ; −2 € avec prob. 0,9 : E = 1 − 1,8 = −0,8 €. Le jeu est défavorable au joueur.

📌 À retenir

V(X) = E(X²) − E(X)² est souvent plus rapide que la définition.

Pour aller plus loin

Loi binomiale et schéma de BernoulliOn répète n fois la même épreuve à deux issues (succès/échec), de façon indépendante : le nombre de succès X suit la…Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombresEn additionnant des variables aléatoires indépendantes, l'espérance s'additionne toujours et la variance aussi (si…Statistiques : moyenne, médiane, quartiles, écart-typeRésumer une série de données par une valeur centrale et une mesure de dispersion.

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