Géométrie dans l'espace : droites, plans, vecteurs

Dans l'espace, un point a trois coordonnées (x ; y ; z). Droites et plans se décrivent avec des vecteurs.

Vecteurs

→u (x ; y ; z) · norme √(x² + y² + z²) · produit scalaire x x' + y y' + z z'. Trois vecteurs sont coplanaires si l'un est combinaison des deux autres.

Droite (représentation paramétrique)

Point A(xA ; yA ; zA) et vecteur directeur →u (a ; b ; c) : x = xA + t a, y = yA + t b, z = zA + t c (t réel).

Plan

Point A et vecteur normal →n (a ; b ; c) : ax + by + cz + d = 0. Un plan est orthogonal à une droite si →n est directeur de celle-ci.

Orthogonalité

Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

Intersection droite-plan

On remplace x, y, z (en fonction de t) dans l'équation du plan et on résout en t.

💡 Exemple

Plan 2x − y + 3z − 5 = 0 : vecteur normal →n (2 ; −1 ; 3).

📌 À retenir

Pour montrer qu'un point appartient à un plan, remplace ses coordonnées dans l'équation.

Pour aller plus loin

Produit scalaire, orthogonalité et Al-KashiLe produit scalaire →u · →v est un nombre qui mesure l'alignement de deux vecteurs et caractérise l'orthogonalité.Vecteurs du plan et colinéaritéUn vecteur →u est défini par une direction, un sens et une norme. Il simplifie l'étude des parallélismes, des…Équations de droitesUne droite non verticale a une équation réduite y = mx + p. Toute droite a une équation cartésienne ax + by + c = 0.

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