Sommes de variables aléatoires et loi des grands nombres

En additionnant des variables aléatoires indépendantes, l'espérance s'additionne toujours et la variance aussi (si indépendance). La moyenne d'un grand nombre d'essais se concentre autour de l'espérance.

Somme

E(X + Y) = E(X) + E(Y) (toujours) · V(X + Y) = V(X) + V(Y) si X et Y sont indépendantes.

Moyenne de n variables

Mₙ = (X₁ + … + Xₙ)/n : E(Mₙ) = E(X), V(Mₙ) = V(X)/n, σ(Mₙ) = σ(X)/√n.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

P(|X − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X) / δ².

Loi des grands nombres

P(|Mₙ − E(X)| ≥ δ) ≤ V(X) / (n δ²) : cette probabilité tend vers 0 quand n grandit. Les fréquences se stabilisent autour de la probabilité.

💡 Exemple

Lancer un dé 600 fois : la moyenne observée sera très proche de 3,5, avec un écart-type de √(35/12 / 600) ≈ 0,07.

📌 À retenir

Ces résultats donnent une majoration de la probabilité d'écart, pas sa valeur exacte.

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