🧮 Mathématiques📘 Première⏱ 1 min de lecture📂 📉 Analyse : dérivation, limites, exp et ln, intégrales

🧮 Mathématiques · Analyse : dérivation, limites, exp et ln, intégrales

Dérivation : nombre dérivé, tangente et variations

La dérivée mesure la pente de la courbe en chaque point. Son signe donne les variations de la fonction.

Schéma
f'(a) = lim (f(a + h) − f(a)) / h     quand h → 0
Tangente en a : y = f'(a)(x − a) + f(a)

Dérivées usuelles

(k)' = 0 · (x)' = 1 · (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ · (1/x)' = −1/x² · (√x)' = 1/(2√x) · (eˣ)' = eˣ · (ln x)' = 1/x · (cos x)' = −sin x · (sin x)' = cos x.

Opérations

(u + v)' = u' + v' · (ku)' = k u' · (uv)' = u'v + uv' · (1/v)' = −v'/v² · (u/v)' = (u'v − uv')/v².

Variations

f' > 0 sur I ⇒ f croissante · f' < 0 ⇒ décroissante · f' s'annule en changeant de signe ⇒ extremum local.

Tangente

En x = a : y = f'(a)(x − a) + f(a). Sa pente est f'(a).

💡 Exemple

f(x) = x² e^x : f'(x) = 2x e^x + x² e^x = x(x + 2) e^x. Signe de f' = signe de x(x + 2).

📌 À retenir

f' = 0 ne suffit pas pour un extremum : il faut que f' change de signe (contre-exemple : x³ en 0).

Teste-toi

Quelle est la dérivée de f(x) = x³ − 2x + 1 ?
  1. 3x² − 2
  2. 3x − 2
  3. x² − 2
  4. 3x² − 2x

Réponse : A. 3x² − 2

On dérive terme à terme : (x³)' = 3x², (−2x)' = −2 et la constante 1 disparaît.

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