Logique et types de raisonnement

Une démonstration enchaîne des propositions vraies. Connaître le vocabulaire logique évite les erreurs de raisonnement les plus fréquentes.

Implication

P ⇒ Q : « si P alors Q ». La réciproque Q ⇒ P n'est pas équivalente. La contraposée non Q ⇒ non P l'est, elle.

Équivalence

P ⇔ Q : « P si et seulement si Q » (les deux implications).

Quantificateurs

∀ : pour tout · ∃ : il existe. La négation de « pour tout x, P(x) » est « il existe x tel que non P(x) ».

Contre-exemple

Un seul contre-exemple suffit à réfuter une propriété générale. Mille exemples ne suffisent jamais à la prouver.

Types de raisonnement

Direct · par contraposée · par l'absurde (on suppose le contraire et on obtient une contradiction) · par disjonction de cas · par récurrence.

💡 Exemple

Montrer « si n² est pair alors n est pair » : par contraposée, si n est impair (n = 2k + 1), alors n² = 4k² + 4k + 1 est impair.

📌 À retenir

« Si P alors Q » vrai ne dit rien sur « si Q alors P » : vérifie toujours le sens.

Pour aller plus loin

Démonstration par récurrenceLa récurrence prouve qu'une propriété P(n) est vraie pour tous les entiers n ≥ n₀, comme une rangée de dominos qui…Ensembles de nombres, intervalles et valeur absolueLes nombres s'emboîtent dans des ensembles de plus en plus larges, et les intervalles décrivent des morceaux de la…

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