🧮 Mathématiques📕 Terminale⏱ 1 min de lecture📂 📉 Analyse : dérivation, limites, exp et ln, intégrales

🧮 Mathématiques · Analyse : dérivation, limites, exp et ln, intégrales

Intégrales, aires et valeur moyenne

L'intégrale de a à b d'une fonction positive est l'aire sous sa courbe. On la calcule avec une primitive : ∫ₐᵇ f = F(b) − F(a).

Calcul

∫ₐᵇ f(x) dx = [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a). L'aire est en unités d'aire (ua).

Propriétés

Linéarité : ∫ (αf + βg) = α∫f + β∫g · Chasles : ∫ₐᵇ + ∫ᵦᶜ = ∫ₐᶜ · ∫ₐᵃ = 0 · ∫ᵦᵃ = −∫ₐᵇ.

Signe et ordre

Si f ≥ 0 et a ≤ b, alors ∫ₐᵇ f ≥ 0. Si f ≤ g, alors ∫ f ≤ ∫ g.

Valeur moyenne

μ = 1/(b − a) × ∫ₐᵇ f(x) dx.

Aire entre deux courbes

Si f ≥ g sur [a ; b] : A = ∫ₐᵇ (f − g).

Intégration par parties

∫ₐᵇ u'v = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u v'. Pratique pour x eˣ ou ln x.

💡 Exemple

∫₀¹ x² dx = [x³/3]₀¹ = 1/3 · ∫₁ᵉ (1/x) dx = ln e − ln 1 = 1.

📌 À retenir

Si f change de signe, l'intégrale n'est pas l'aire : découpe en morceaux et prends les valeurs absolues.

Teste-toi

Que vaut l'intégrale de 0 à 1 de 2x dx ?
  1. 1
  2. 2
  3. 1/2
  4. 0

Réponse : A. 1

Une primitive de 2x est x². Donc [x²] de 0 à 1 = 1 − 0 = 1.

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