Probabilités conditionnelles et indépendance

P_A(B) est la probabilité de B sachant que A est réalisé. Elle s'obtient et se représente avec un arbre pondéré.

Schéma

P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A)
P(B) = P(A) × P_A(B) + P(Ā) × P_Ā(B)     (probabilités totales)

Arbre pondéré

La somme des probabilités des branches issues d'un nœud vaut 1. On multiplie le long d'une branche, on additionne les branches qui mènent à un même événement.

Probabilités totales

Si A et Ā partitionnent Ω : P(B) = P(A ∩ B) + P(Ā ∩ B).

Indépendance

A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B) (⇔ P_A(B) = P(B)). Indépendants ≠ incompatibles.

Formule de Bayes

P_B(A) = P(A) × P_A(B) / P(B) : on « inverse » le conditionnement.

💡 Exemple

Maladie présente chez 2 % de la population. Test positif à 95 % si malade, à 5 % si sain. P(positif) = 0,02×0,95 + 0,98×0,05 = 0,068. P(malade | positif) = 0,019/0,068 ≈ 28 % seulement !

📌 À retenir

Ne confonds pas P_A(B) et P_B(A) : ce sont deux probabilités différentes.

Teste-toi

P(A) = 0,4 et P(B | A) = 0,5. Que vaut P(A ∩ B) ?

Réponse : A. 0,2

P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A) = 0,4 × 0,5 = 0,2.

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