Produit scalaire, orthogonalité et Al-Kashi

Le produit scalaire →u · →v est un nombre qui mesure l'alignement de deux vecteurs et caractérise l'orthogonalité.

Schéma

→u · →v = ‖→u‖ × ‖→v‖ × cos θ     (θ = angle entre les vecteurs)
→u · →v = x x' + y y'     (en repère orthonormé)

Orthogonalité

→u · →v = 0 ⇔ →u ⊥ →v (vecteurs non nuls).

Propriétés

Symétrique · bilinéaire · →u · →u = ‖→u‖² · ‖→u + →v‖² = ‖→u‖² + 2 →u·→v + ‖→v‖².

Projection

→AB · →AC = →AB · →AH où H est le projeté orthogonal de C sur (AB).

Al-Kashi

BC² = AB² + AC² − 2 AB × AC × cos(Â). Généralise Pythagore (cos 90° = 0).

Médiane

I milieu de [BC] : AB² + AC² = 2 AI² + BC²/2.

Triangle quelconque

Loi des sinus : a / sin Â = b / sin B̂ = c / sin Ĉ · aire = ½ × a × b × sin Ĉ.

💡 Exemple

→u (2 ; 3) et →v (3 ; −2) : 2×3 + 3×(−2) = 0, donc orthogonaux.

📌 À retenir

Pour montrer un angle droit en coordonnées, calcule le produit scalaire : c'est souvent le plus rapide.

Teste-toi

Les vecteurs u(2 ; 6) et v(−3 ; 1) sont…

Orthogonaux
Colinéaires
Égaux
De même direction

Réponse : A. Orthogonaux

u · v = 2×(−3) + 6×1 = 0 : ils sont orthogonaux. Colinéaires aurait demandé 2×1 − (−3)×6 = 0, ce qui est faux (= 20).

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