Limites de suites et convergence

Une suite converge vers ℓ si ses termes s'en approchent aussi près qu'on veut. Sinon, elle diverge.

Limites usuelles

1/n → 0 · 1/√n → 0 · nᵖ → +∞ (p > 0) · qⁿ → 0 si |q| < 1.

Opérations

Somme, produit, quotient de limites finies : on applique l'opération. Formes indéterminées (∞ − ∞, ∞/∞, 0 × ∞…) : on transforme l'expression.

Comparaison et gendarmes

uₙ ≤ vₙ et uₙ → +∞ ⇒ vₙ → +∞ · uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ avec uₙ et wₙ → ℓ ⇒ vₙ → ℓ.

Convergence monotone

Une suite croissante et majorée converge. Une suite croissante non majorée tend vers +∞.

Suite récurrente

Si uₙ₊₁ = f(uₙ), uₙ → ℓ et f continue, alors **f(ℓ) = ℓ**. On résout cette équation pour trouver la limite.

💡 Exemple

u₀ = 1, uₙ₊₁ = √(2 + uₙ) : croissante, majorée par 2, donc convergente vers ℓ avec ℓ = √(2 + ℓ), soit ℓ = 2.

📌 À retenir

Prouve d'abord que la suite converge (monotone + bornée), puis seulement cherche la limite avec f(ℓ) = ℓ.

Pour aller plus loin

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