Équation d'un cercle et tangente

Un cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon r a pour équation **(x − a)² + (y − b)² = r²**.

Équation

(x − a)² + (y − b)² = r². Pour trouver centre et rayon à partir de x² + y² + αx + βy + γ = 0, on met sous forme canonique.

Cercle de diamètre [AB]

M ∈ cercle ⇔ →MA · →MB = 0.

Tangente en A

Droite passant par A et orthogonale à (ΩA) : M ∈ tangente ⇔ →ΩA · →AM = 0.

Intersection avec une droite

On remplace y par l'équation de la droite : on obtient un second degré. Δ > 0 : 2 points, Δ = 0 : tangente, Δ < 0 : aucun point.

💡 Exemple

x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 ⇔ (x − 2)² + (y + 3)² = 16 : centre (2 ; −3), rayon 4.

📌 À retenir

Le rayon est √(second membre) : vérifie qu'il est strictement positif.

Pour aller plus loin

Produit scalaire, orthogonalité et Al-KashiLe produit scalaire →u · →v est un nombre qui mesure l'alignement de deux vecteurs et caractérise l'orthogonalité.Second degré : discriminant, racines et signeUn trinôme f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) se résout et se factorise grâce au discriminant Δ = b² − 4ac.Équations de droitesUne droite non verticale a une équation réduite y = mx + p. Toute droite a une équation cartésienne ax + by + c = 0.

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