Identités remarquables et factorisation

Trois égalités à connaître par cœur pour développer, factoriser et simplifier un calcul.

Schéma

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²

Développer

(x + 3)² = x² + 6x + 9 · (2x − 1)² = 4x² − 4x + 1. Ne pas oublier le double produit 2ab.

Factoriser

x² − 25 = (x − 5)(x + 5) · 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)². Cherche d'abord un facteur commun, puis une identité.

Pourquoi factoriser ?

Pour résoudre une équation : un produit est nul si l'un des facteurs l'est (A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0) et pour étudier un signe.

Calcul mental

99² = (100 − 1)² = 9 801 · 101 × 99 = 10 000 − 1 = 9 999.

Le piège classique

(a + b)² ≠ a² + b². Il manque 2ab.

📌 À retenir

Une expression à deux termes séparés par un moins, tous deux des carrés : pense à a² − b².

Teste-toi

Développe (x + 3)².

x² + 6x + 9
x² + 9
x² + 3x + 9
x² + 6x + 6

Réponse : A. x² + 6x + 9

(a + b)² = a² + 2ab + b² : x² + 2×x×3 + 3² = x² + 6x + 9.

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Pour aller plus loin

Équations, inéquations et tableaux de signesRésoudre, c'est trouver toutes les valeurs qui rendent une égalité ou une inégalité vraie. Le tableau de signes sert…Second degré : discriminant, racines et signeUn trinôme f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) se résout et se factorise grâce au discriminant Δ = b² − 4ac.

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