🧮 Mathématiques📕 Terminale⏱ 1 min de lecture📂 📉 Analyse : dérivation, limites, exp et ln, intégrales

🧮 Mathématiques · Analyse : dérivation, limites, exp et ln, intégrales

Limites de fonctions et asymptotes

Une limite décrit le comportement de f(x) quand x tend vers une valeur ou vers ±∞. Elle donne les asymptotes de la courbe.

Limites usuelles

1/x → 0 quand x → ±∞ · 1/x → +∞ en 0⁺ et −∞ en 0⁻ · xⁿ → +∞ en +∞ · eˣ → +∞ en +∞ et → 0 en −∞ · ln x → +∞ en +∞ et → −∞ en 0⁺.

Formes indéterminées

∞ − ∞ · 0 × ∞ · ∞/∞ · 0/0. On lève l'indétermination : factoriser le terme dominant, multiplier par la quantité conjuguée.

Polynômes et fractions

En ±∞, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré. Une fraction rationnelle comme le quotient de ses termes dominants.

Croissances comparées

eˣ / xⁿ → +∞ · ln x / x → 0 en +∞ · x ln x → 0 en 0⁺ · x eˣ → 0 en −∞ : l'exponentielle écrase les puissances, qui écrasent le logarithme.

Asymptotes

lim f = ℓ en ±∞ : asymptote horizontale y = ℓ · lim f = ±∞ en a : asymptote verticale x = a.

Gendarmes et comparaison

u ≤ f ≤ v avec lim u = lim v = ℓ ⇒ lim f = ℓ · f ≥ u et lim u = +∞ ⇒ lim f = +∞.

💡 Exemple

(3x² − x)/(x² + 5) en +∞ : on factorise x² en haut et en bas, la limite vaut 3.

📌 À retenir

Face à une forme indéterminée, ne calcule rien « à l'aveugle » : transforme l'expression d'abord.

Teste-toi

Que vaut la limite en +∞ de (3x² + 1) / (x² − 5) ?
  1. 3
  2. +∞
  3. 0
  4. 1/5

Réponse : A. 3

On factorise par x² en haut et en bas : (3 + 1/x²) / (1 − 5/x²) → 3.

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Pour aller plus loin

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