Suites : définition, récurrence et sens de variation

Une suite (uₙ) est une liste de nombres indexée par les entiers. Elle se définit explicitement (uₙ = f(n)) ou par récurrence (uₙ₊₁ = f(uₙ) avec u₀).

Deux modes de définition

Explicite : on calcule uₙ directement (uₙ = 2n + 1). Récurrence : il faut connaître le terme précédent (u₀ = 3, uₙ₊₁ = 2uₙ − 1).

Sens de variation

(uₙ) croissante si uₙ₊₁ − uₙ ≥ 0 pour tout n. Si les termes sont strictement positifs : croissante si uₙ₊₁ / uₙ ≥ 1. Pour une suite explicite uₙ = f(n) : variations de f sur [0 ; +∞[.

Bornes

Majorée : uₙ ≤ M pour tout n · minorée : uₙ ≥ m · bornée : les deux.

Algorithme de seuil

On cherche le plus petit n tel que uₙ dépasse une valeur. En Python :

u, n = 5, 0
while u < 100:
    u = 2 * u - 1
    n += 1

💡 Exemple

uₙ = n² − 4n : uₙ₊₁ − uₙ = 2n − 3, donc la suite décroît pour n ≤ 1 puis croît.

📌 À retenir

Pour étudier le sens de variation, calcule uₙ₊₁ − uₙ et étudie son signe.

Pour aller plus loin

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