🧮 Mathématiques📘 Première⏱ 1 min de lecture📂 📉 Analyse : dérivation, limites, exp et ln, intégrales

🧮 Mathématiques · Analyse : dérivation, limites, exp et ln, intégrales

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable égale à sa dérivée avec f(0) = 1. On la note eˣ, avec e ≈ 2,718.

Schéma

(eˣ)' = eˣ      e⁰ = 1      eˣ > 0 pour tout x
e^(a+b) = eᵃ × eᵇ      e^(−a) = 1/eᵃ      (eᵃ)ⁿ = e^(na)

Variations et limites

Strictement croissante sur ℝ, toujours positive. lim eˣ = +∞ en +∞ et 0 en −∞ (asymptote y = 0).

Équations et inéquations

eᵃ = eᵇ ⇔ a = b · eᵃ < eᵇ ⇔ a < b · eˣ = k avec k > 0 se résout avec ln : x = ln k.

Dérivée de `eᵘ`

(eᵘ)' = u' eᵘ. Ex : (e^(−2x))' = −2 e^(−2x).

Une inégalité utile

eˣ ≥ x + 1 pour tout x (la courbe est au-dessus de sa tangente en 0).

Modèle

Les phénomènes où la variation est proportionnelle à la quantité (population, décroissance radioactive, refroidissement) se modélisent par y' = ay, de solutions C eᵃˣ.

📌 À retenir

e^(a+b) = eᵃ × eᵇ, mais e^(a×b) ≠ eᵃ × eᵇ : ne mélange pas somme et produit des exposants.

Pour aller plus loin

Fonction logarithme népérienLe logarithme népérien ln est la fonction réciproque de l'exponentielle, définie sur ]0 ; +∞[.Primitives et équations différentiellesUne primitive de f est une fonction F telle que F' = f. Elle permet de résoudre y' = ay + b.Dérivées de fonctions composéesPour dériver f(u(x)), on dérive la fonction extérieure puis on multiplie par u' : c'est la règle de la chaîne.

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