🧮 Mathématiques📕 Terminale⏱ 1 min de lecture📂 📉 Analyse : dérivation, limites, exp et ln, intégrales

🧮 Mathématiques · Analyse : dérivation, limites, exp et ln, intégrales

Dérivées de fonctions composées

Pour dériver f(u(x)), on dérive la fonction extérieure puis on multiplie par u' : c'est la règle de la chaîne.

Schéma

(uⁿ)'  = n u' uⁿ⁻¹
(√u)'  = u' / (2√u)
(eᵘ)'  = u' eᵘ
(ln u)' = u' / u

Règle générale

(g ∘ u)' = u' × (g' ∘ u). Cas particulier : (f(ax + b))' = a f'(ax + b).

Trigonométrie

(cos(ax + b))' = −a sin(ax + b) · (sin(ax + b))' = a cos(ax + b).

Condition

ln u demande u > 0 et √u demande u > 0 pour être dérivable.

💡 Exemple

f(x) = e^(x²) → f'(x) = 2x e^(x²) · g(x) = ln(3x + 1) → g'(x) = 3/(3x + 1) · h(x) = (2x − 1)⁴ → h'(x) = 8(2x − 1)³.

📌 À retenir

Repère la fonction intérieure u, calcule u', puis applique la formule qui correspond à la fonction extérieure.

Pour aller plus loin

Dérivation : nombre dérivé, tangente et variationsLa dérivée mesure la pente de la courbe en chaque point. Son signe donne les variations de la fonction.Fonction exponentielleLa fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable égale à sa dérivée avec f(0) = 1. On la note eˣ, avec e ≈…Fonction logarithme népérienLe logarithme népérien ln est la fonction réciproque de l'exponentielle, définie sur ]0 ; +∞[.

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