🧮 Mathématiques📕 Terminale⏱ 1 min de lecture📂 📉 Analyse : dérivation, limites, exp et ln, intégrales

🧮 Mathématiques · Analyse : dérivation, limites, exp et ln, intégrales

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Une fonction continue se trace sans lever le crayon. Le TVI garantit alors l'existence de solutions d'une équation f(x) = k.

Continuité

f continue en a si lim f(x) = f(a) quand x → a. Dérivable ⇒ continue, mais pas l'inverse : |x| est continue en 0 sans y être dérivable.

Fonctions usuelles

Polynômes, fractions rationnelles, racine, exp, ln, cos, sin : continues sur leur ensemble de définition.

TVI

f continue sur [a ; b] et k compris entre f(a) et f(b) ⇒ l'équation f(x) = k a au moins une solution dans [a ; b].

Corollaire (unicité)

Si f est de plus strictement monotone, la solution est unique.

Application

Encadrer une solution par dichotomie (on divise l'intervalle en deux à chaque étape) ; pour une suite uₙ₊₁ = f(uₙ) convergente vers ℓ avec f continue : f(ℓ) = ℓ.

💡 Exemple

f(x) = x³ + x − 1 est continue et strictement croissante, f(0) = −1 < 0 < f(1) = 1 : une unique solution α dans [0 ; 1].

📌 À retenir

Rédige toujours : continue + strictement monotone + k entre f(a) et f(b), donc solution unique.

Teste-toi

Que garantit le théorème des valeurs intermédiaires ?

Une fonction continue qui change de signe s'annule au moins une fois
Que f est dérivable sur [a ; b]
Que f est croissante sur [a ; b]
Que f s'annule exactement une fois

Réponse : A. Une fonction continue qui change de signe s'annule au moins une fois

Il donne l'existence d'au moins une solution. L'unicité demande en plus que f soit strictement monotone.

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