Loi binomiale et schéma de Bernoulli

On répète n fois la même épreuve à deux issues (succès/échec), de façon indépendante : le nombre de succès X suit la loi binomiale B(n ; p).

Schéma

P(X = k) = C(n ; k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
E(X) = n p          V(X) = n p (1 − p)
C(n ; k) = n! / (k! (n − k)!)

Conditions

n répétitions · identiques · indépendantes · deux issues. À justifier dans la rédaction.

Calculatrice

binomFdp(n, p, k) donne P(X = k) · binomFRép(n, p, k) donne P(X ≤ k).

Probabilités utiles

P(X ≥ 1) = 1 − (1 − p)ⁿ · P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1).

Interprétation

E(X) = np : nombre moyen de succès attendus.

💡 Exemple

Un QCM de 10 questions à 4 choix, réponses au hasard : X ~ B(10 ; 0,25), E(X) = 2,5 et P(X ≥ 5) ≈ 0,078.

📌 À retenir

Écris toujours : « X suit la loi binomiale de paramètres n = … et p = … car… ».

Teste-toi

X suit la loi binomiale B(3 ; 0,5). Que vaut P(X = 2) ?

0,375
0,25
0,5
0,125

Réponse : A. 0,375

P(X = 2) = C(3,2) × 0,5² × 0,5¹ = 3 × 0,125 = 0,375.

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