Ensembles de nombres, intervalles et valeur absolue

Les nombres s'emboîtent dans des ensembles de plus en plus larges, et les intervalles décrivent des morceaux de la droite réelle.

Schéma

ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ
entiers naturels · relatifs · décimaux · rationnels · réels

Les ensembles

ℕ : 0, 1, 2… · ℤ : entiers relatifs · 𝔻 : décimaux (0,25) · ℚ : quotients d'entiers (1/3) · ℝ : tous les nombres de la droite. √2, π sont réels mais pas rationnels.

Intervalles

[a ; b] : a et b inclus · ]a ; b[ : exclus · [a ; +∞[ : à partir de a. Le crochet est tourné vers l'intérieur quand la borne est incluse. L'infini a toujours un crochet ouvert.

Réunion et intersection

I ∪ J : les x qui sont dans I ou J · I ∩ J : dans I et J. Exemple : [1;5] ∩ ]3;8] = ]3;5].

Valeur absolue

|x| est la distance de x à 0 et |x − a| la distance entre x et a. |x − 3| ≤ 2 ⇔ x ∈ [1 ; 5] · |x − 3| > 2 ⇔ x < 1 ou x > 5.

Définition par cas

|x| = x si x ≥ 0 et |x| = −x si x ≤ 0. Donc |−7| = 7 et √(x²) = |x|.

💡 Exemple

x ∈ [−2 ; 4[ signifie −2 ≤ x < 4 : −2 est atteint, 4 ne l'est pas.

📌 À retenir

Dessine toujours la droite graduée et colorie la zone : les erreurs de crochets disparaissent.

Pour aller plus loin

Équations, inéquations et tableaux de signesRésoudre, c'est trouver toutes les valeurs qui rendent une égalité ou une inégalité vraie. Le tableau de signes sert…Puissances, racines carrées et notation scientifiqueLes règles de calcul avec les puissances et les racines carrées simplifient presque tous les calculs algébriques.

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