Fonctions cosinus et sinus, équations trigonométriques

cos et sin sont 2π-périodiques. Leur étude et leurs équations reviennent à lire le cercle trigonométrique.

Propriétés

Définies sur ℝ · 2π-périodiques · cos paire, sin impaire · valeurs dans [−1 ; 1].

Dérivées

cos'(x) = −sin x · sin'(x) = cos x. Pour la composée : (cos(ax + b))' = −a sin(ax + b).

Équations

cos x = cos a ⇔ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ · sin x = sin a ⇔ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ (k entier).

Sinusoïde

A sin(ωx + φ) : amplitude A, période 2π/ω, déphasage φ. C'est la forme des signaux périodiques (son, courant alternatif).

💡 Exemple

cos x = 1/2 sur [0 ; 2π] : x = π/3 ou x = −π/3 + 2π = 5π/3.

📌 À retenir

Après avoir résolu, garde seulement les solutions situées dans l'intervalle demandé.

Pour aller plus loin

Trigonométrie : radians, cosinus et sinusSur le cercle trigonométrique (rayon 1), le point associé à l'angle x a pour coordonnées (cos x ; sin x). Les angles…Dérivées de fonctions composéesPour dériver f(u(x)), on dérive la fonction extérieure puis on multiplie par u' : c'est la règle de la chaîne.Ondes mécaniques, sons et niveau sonoreUne onde mécanique est la propagation d'une perturbation sans transport de matière, dans un milieu matériel.

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