Démonstration par récurrence

La récurrence prouve qu'une propriété P(n) est vraie pour tous les entiers n ≥ n₀, comme une rangée de dominos qui tombent.

1. Initialisation

On vérifie que P(n₀) est vraie (souvent P(0) ou P(1)).

2. Hérédité

On suppose P(n) vraie pour un entier n ≥ n₀ fixé (hypothèse de récurrence) et on démontre P(n + 1).

3. Conclusion

Par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.

Erreurs classiques

Oublier l'initialisation · utiliser dans l'hérédité ce qu'on veut démontrer · écrire « on suppose que P(n) est vraie pour tout n ».

💡 Exemple

1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2. Hérédité : n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2, c'est P(n+1).

📌 À retenir

Écris clairement ce que valent P(n) et P(n + 1) avant de commencer l'hérédité.

Pour aller plus loin

Logique et types de raisonnementUne démonstration enchaîne des propositions vraies. Connaître le vocabulaire logique évite les erreurs de raisonnement…Suites : définition, récurrence et sens de variationUne suite (uₙ) est une liste de nombres indexée par les entiers. Elle se définit explicitement (uₙ = f(n)) ou par…Limites de suites et convergenceUne suite converge vers ℓ si ses termes s'en approchent aussi près qu'on veut. Sinon, elle diverge.

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