🧮 Mathématiques📕 Terminale⏱ 1 min de lecture📂 📉 Analyse : dérivation, limites, exp et ln, intégrales

🧮 Mathématiques · Analyse : dérivation, limites, exp et ln, intégrales

Fonction logarithme népérien

Le logarithme népérien ln est la fonction réciproque de l'exponentielle, définie sur ]0 ; +∞[.

Schéma
ln(ab) = ln a + ln b          ln(a/b) = ln a − ln b
ln(aⁿ) = n ln a              ln(1/a) = −ln a
ln 1 = 0    ln e = 1    e^(ln x) = x    ln(eˣ) = x

Variations et limites

Strictement croissante · lim ln x = +∞ en +∞ et −∞ en 0⁺ · dérivée (ln x)' = 1/x · ln x ≤ x − 1.

Équations

ln a = ln b ⇔ a = b (a, b > 0) · ln x = k ⇔ x = eᵏ · ln a < ln b ⇔ a < b. Vérifie toujours le domaine : arguments strictement positifs.

Logarithme décimal

log x = ln x / ln 10. Il sert aux échelles logarithmiques (pH, décibels, magnitude).

Résoudre `aⁿ ≥ M`

On passe au ln : n ln a ≥ ln M, et on divise par ln a (positif si a > 1, négatif si 0 < a < 1 : le sens change).

💡 Exemple

0,8ⁿ < 0,01 : n ln 0,8 < ln 0,01, donc n > ln 0,01 / ln 0,8 ≈ 20,6 : n ≥ 21 (le sens change car ln 0,8 < 0).

📌 À retenir

Avant tout ln(…), écris la condition : l'argument doit être > 0.

Teste-toi

Que vaut ln(e³) ?
  1. 3
  2. e³
  3. 1/3
  4. ln 3

Réponse : A. 3

ln et exp sont réciproques : ln(eˣ) = x, donc ln(e³) = 3.

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