🧮 Mathématiques📕 Terminale⏱ 1 min de lecture📂 📉 Analyse : dérivation, limites, exp et ln, intégrales

🧮 Mathématiques · Analyse : dérivation, limites, exp et ln, intégrales

Convexité et points d'inflexion

Une fonction est convexe quand sa courbe reste au-dessus de ses tangentes ; concave quand elle reste en dessous.

Critères

f'' ≥ 0 sur I ⇔ f convexe · f'' ≤ 0 ⇔ f concave · aussi : f' croissante ⇔ f convexe.

Point d'inflexion

Point où f'' s'annule en changeant de signe : la courbe traverse sa tangente (la convexité change).

Exemples

x² et eˣ sont convexes sur ℝ · ln x et √x concaves sur ]0 ; +∞[ · x³ a un point d'inflexion en 0.

Inégalités

Convexe : f(x) ≥ f(a) + f'(a)(x − a). D'où eˣ ≥ x + 1 et ln x ≤ x − 1.

📌 À retenir

Pour étudier la convexité : dérive deux fois, étudie le signe de f''.

Teste-toi

Si f″(x) > 0 sur un intervalle, alors f est…
  1. Convexe
  2. Concave
  3. Décroissante
  4. Constante

Réponse : A. Convexe

La dérivée seconde positive signifie que f′ est croissante : la courbe est au-dessus de ses tangentes (convexe).

Plus de questions dans Discord avec /qcm matiere:maths.

Pour aller plus loin

Dérivation : nombre dérivé, tangente et variationsLa dérivée mesure la pente de la courbe en chaque point. Son signe donne les variations de la fonction.Fonction exponentielleLa fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable égale à sa dérivée avec f(0) = 1. On la note eˣ, avec e ≈…Fonction logarithme népérienLe logarithme népérien ln est la fonction réciproque de l'exponentielle, définie sur ]0 ; +∞[.

Fiche de révision : vérifie les programmes et les épreuves officiels sur eduscol ou education.gouv.fr. Fiche mise à jour le 6 novembre 2026. Une erreur, une précision à proposer ? Écris-nous.